На PS5 не выпал трофей, соответственно не выпал и Жесткие принципы. Переигрывал с сейва, перепрошел все ДЛС заново - пофиг. На забугорном сайте нашел решение:

1) Удаляем все сейвы игры с винта и с облака
2) Сбрасываем консоль на заводские настройки (я делал с переустановкой ПО)
3) Скачиваем ПОЛНОСТЬЮ игру и только ДЛС История Сэма (не запускать недокачаную версию. Вообще не запускать с инетом)
4) Отключаем инет
5) Спидраним ДЛС на Читателе. Трофеи выпадают как положено (выпадают и те что были получены раньше, не обращаем внимания)
6) Закрываем игру и синхронизируем трофеи с ПСН.
7) Радуемся 100% и думаем на что только что потратили 3 часа своей жизни...

Трофей на одобрение капитана и этот глючат. Если не выпали удалять сейвы и перепроходить бесполезно. Чтобы сохранить все скриншоты делаете резервное копирование в системе (если нужны скрины). Сейвы игры кидаете в облако и удаляет аккаунт. Удалять игру и скачивать заново не надо, также сбрасывать настройки к заводским тоже не надо. Создаёте нового пользователя загружает сейвы из облака и отключайте интернет, после этого входите в игру и загружайте последний сейв, трофеи выпадают как положено.

На 04.12.21 трофей выпадает без проблем(пс5)

Решение для тех, кто после завершения на PS5 этого DLC не получил какие-то из трофеев:
A Man of Principle / Жесткие принципы, The Last Hero / Последний герой или Untouchable / Неуловимый. Я изначально после прохождения получил только трофей за летающую крысу, за Капитана и прохождение не выпали.
1. Удалил все сохранения (облако и консоль)
2. Синхронизировал трофеи (на всякий случай)
3. Ресет консоли (Factory reset удалит все пользовательские данные: игры, приложения, учётки)
4. Залогинил свой аккаунт
5. Отключил автоматическую синхронизацию сейва (на всякий случай)
6. Скачал "Метро + История Сэма" (в трофеи не заходил и не синхронизировал).
7. Отключил интернет от консоли физически и в настройках.
8. Пробежал DLC (при каждой встрече с птеродактилем специально умирал чтобы точно трофей на него не выскочил).
В конце выпали трофеи A Man of Principle / Жесткие принципы, The Last Hero / Последний герой.
9. Вышел из игры, подключил интернет и синхронизировал трофеи
Итог: все трофеи за DLC на месте
з.ы. У кого ситуация обратная (не хватает только Untouchable / Неуловимый) думаю проходить надо пропуская трофей за капитана

Здесь можно добить трофей с убийством 300 человек.

В дополнении может встретиться неприятный баг - при входе в заражённую зону фильтры, сколько бы их не было, мгновенно заканчиваются. Посмотрел в интернете - встречается часто, независимо от платформы.
Когда по сюжету угоняете лодку у бандитов и плывёте к пожарной станции, обязательно попадёте в заражённую зону. Поэтому лучше иметь при себе один фильтр и ресурсы на создание ещё нескольких. Как только вплывёте в зону, Сэм тут же начнёт задыхаться. Крафтите новые фильтры, и они уже работают как положено.
Из-за этого бага не получилось попасть в здание, где находится команда Капитана.

Трофей глючный на версии для Ps5. Прошёл длс 2 раза трофей не выпал.

Текстовый гайд (ru).