Чтобы открыть эту миссию, нужно что бы связь с Молчуньей была максимальной. Для этого играйте миссии, в которых она ваш напарник.
Так же нужно пройти около 45 главных миссий и, после этого пройти доп.миссию "Защитить Молчунью".
Теперь можно пройти нужную для трофея миссию.

Видео по трофею

Существует способ вернуть Квает в список напарников.
Как известно, девушка-снайпер окончательно покидает команду после прохождения миссии "45. Безмолвный выход".
С выходом патча 1.06 (ноябрь 2015) появилась возможность вернуть полезного напарника.
Делается это следующим образом:
Нужно 6-7 раз подряд перепройти миссию "11. [Повтор] Окружённая тишиной", и Квает во всех прохождениях должна выжить (используем только транквилизатор, а в заставке не стреляем в девушку).
После этого миссия переназовётся на "11. [Воссоединение] Окружённая тишиной".
Проходим очередной раз и вуаля - Квает снова с Вами!

Успокойтесь, это не развод "Как воскресить Айрис в Final Fantasy 7", это реально проверено.
В качестве доказательств привожу скриншоты.

Не спешите выполнять эту миссию. Лучше оставить данный трофей ближе к финалу, ибо последствия его необратимы и большинство они не обрадуют. Чтоб данная миссия не началась автоматически нужно открыть эмблему за кооперацию с Квает. Для этого она должна 3 раза на миссиях оглушить больше людей, нежели Снейк. После этого данную эмблему нужно установить к себе в знак (Выглядит как бабочка), до тех пор, пока эмблема с вами - миссия не начнется. Кто хочет подробностей и не боится спойлеров - вам сюда, скрин из официального руководства на английском, там все понятно и четко.

если вы дошли до 45-й миссии со слабым оружием и слишком поздно прочли подсказку выше не стоит отчаиваться. если у вас имеется портальный фултон то вы можете вернуться на базу через контейнер и уже набрать мощного оружия и начать миссию заново уже готовыми.

Берем костюм паразитов и картриджи брони и просто фултоним всю наземную технику. Пострелять придется только в вертолеты. Людей особо не трогал ими занималась молчунья. Ранг S обеспечен ну и еще потом денег поднимите с продажи техники.

Когда откроется Сайд Опс #150 -- идем на него в полной броне, с банданой, гранатометом и ракетницей. Желательно, чтобы все было по максимуму прокачано, так как после него активируется миссии нельзя будет выйти.

Если идти не на ранг S, то просто запрашивайте арт поддержку, меняя погодные условия - вызываем песчаную бурю и фултоним всю технику. Враг вас будет плохо видеть, позволяя подходить к технике в лёгкую. И можете взять гранатомёт на всяки случай, если будет мешать пехота, гранатометами проще стрелять от бедра на бегу....

Немного дополню, когда появиться 47 миссия, а 45 и 46 нет - не переживайте, пройдете 47 и тогда появится 46 и допонительая #150( после которой и автоматически появляется (запускается) 45).

Мне эмблема в виде бабочки не помогла. Миссия 45 всё равно началась автоматически.